解法３： 相反定理の応用

求める電磁界を$E_z$,$H_\varphi$、 補助電磁界を $E_z^{\mbox{\scriptsize {(0)}}}$, $H_\varphi ^{\mbox{\scriptsize {(0)}}}$として、 ベクトル解析の公式

$$\mbox{div}(\mbox{\boldmath${A}$}\times\mbox{\boldmath${B}$}) ... ...$} -\mbox{\boldmath${A}$}\cdot\mbox{rot}\mbox{\boldmath${B}$}$$

および、マクスウェルの方程式

$$\begin{eqnarray*} \mbox{rot}\mbox{\boldmath${E}$} &=& -j\omega\mu\mbox{\boldmat... ...tsize {(0)}}} + \mbox{\boldmath${J}$}^{\mbox{\scriptsize {(0)}}} \end{eqnarray*}$$

を用いて、

$$\mbox{div}[\mbox{\boldmath${E}$}\times\mbox{\boldmath${H}$}... ...h${E}$}^{\mbox{\scriptsize {(0)}}}\times\mbox{\boldmath${H}$}]$$

を計算すると、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{div}[\mbox{\boldmath${E}$}\times\mbox{\boldmath${H}$}^{\... ...dmath${E}$}\cdot\mbox{\boldmath${J}$}^{\mbox{\scriptsize {(0)}}} \end{eqnarray*}$$

なる関係が得られる。 補助電磁界として、波源の存在しない空間での電磁界を用いると、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{div}[\mbox{\boldmath${E}$}\times\mbox{\boldmath${H}$}^{\... ...dmath${E}$}^{\mbox{\scriptsize {(0)}}}\cdot\mbox{\boldmath${J}$} \end{eqnarray*}$$

が得られる。 これを適当な空間で体積積分すると

$$\int_S[\mbox{\boldmath${E}$}\times\mbox{\boldmath${H}$}^{\mbox{\s... ...box{\boldmath${E}$}^{\mbox{\scriptsize {(0)}}}\times\mbox{\boldmath${H}$}]_n dS = \int_V\mbox{\boldmath${E}$}^{\mbox{\scriptsize {(0)}}}\cdot\mbox{\boldmath${J}$} dV$$ (2.9)

なる関係が得られる。 ここで、$n$は空間の表面$S$で外側に向いた法線ベクトル成分を意味する。

以下、 領域I( $a\le\rho<\rho'$)、領域II($\rho>\rho'$)の２領域に分け、 静電場の問題と同様に、境界面上での積分方程式を導出し、 これを解いて電磁界を決定する。

領域I:( $a\le\rho<\rho'$)

$\rho=a$での境界条件を考慮して、補助電磁界を

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\large$\phi$}^{\mbox{\scriptsize {(0)}}}(\rho,\varphi )... ...l \rho} \\ &=& \frac{k}{j\omega\mu}{Z_n}'(k\rho)\cos n\varphi \end{eqnarray*}$$

とする。 ここで、$Z_n(z)$は式(2.2)で定義した関数である。

以上を式(2.9)に代入して整理する。 このとき、$\rho=a$では$E_z$, $E_z^{\mbox{\scriptsize {(0)}}}$はともに$0$となるので、 左辺は$\rho=\rho'$での積分のみが残ることに注意すると 次の関係式が得られる。

$$-\int_0^{2\pi}[ E_z(\rho',\varphi )H_\phi^{(0)}(\rho',\var... ..._\phi(\rho',\varphi ) ]\rho'\,d\varphi = E_z^{(0)}(d,0)I_0$$

この式に補助電磁界の表現式を代入して整理すると、

$$-\int_0^{2\pi}[\frac{k}{j\omega\mu}E_z(\rho',\varphi ) {Z_{n}}'(k\rho') -H_\varphi (\rho',\varphi )Z_{n}(k\rho')] \rho' \cos n\varphi \ \,d\varphi = \left\{ \begin{array}{ll} 0,&(\rho'<d)\\ Z_n(kd)I_0,&(\rho'>d) \end{array}\right.$$ (2.10)

となる。

領域II:($\rho>\rho'$)

放射条件を考慮して補助電磁界を

$$\begin{eqnarray*} E_z^{\mbox{\scriptsize {(0)}}} &=& H_{n}^{(2)}(k\rho)\cos n\v... ...riptsize {(0)}}} &=& \frac{k}{j\omega\mu}{H_{n}^{(2)}}'(k\rho) \end{eqnarray*}$$

とする。 このとき、式(2.9)は、 $\rho=\rho'$での左辺の積分は$-\rho$方向を向いた法線ベクトル成分に ついて行なうことに注意をして、

$$\int_0^{2\pi}[\frac{k}{j\omega\mu}E_z(\rho',\varphi ) {H_{n}^{(2)... ...-H_\varphi (\rho',\varphi )H_{n}^{(2)}(k\rho')] \cos n\varphi \ \rho'\,d\varphi = \left\{ \begin{array}{ll} H_{n}^{(2)}(kd)I_0, &(\rho'<d)\\ 0,&(\rho'>d) \end{array}\right.$$ (2.11)

と表される。

これら２つの方程式を$E_z$, $H_\varphi$の積分についての連立方程式として解き、 ベッセル関数の公式(A.12)より、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ {H_{n}^{(2)}}'(k\rho')Z_n(k\rho') -H_{n}^{(2)}(k\... ...-H_{n}^{(2)}(k\rho')J'_n(k\rho')\\ &=& -\frac{2j}{\pi k\rho'} \end{eqnarray*}$$

となることを利用して整理すると

$$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} E_z(\rho',\varphi )\cos n\varphi \,d\varphi &=&... ... Z_n(k\rho'){H_{n}^{(2)}}'(kd)} ,&(\rho'>d) \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

が得られる。 ただし、

$$\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}= \rho',\quad\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}= d,\qquad(\rho'<d)$$

$$\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}= d,\quad\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}= \rho',\qquad(\rho'>d)$$

を表す。

上式を、電磁界のフーリエ級数展開の係数とみなして逆変換すると、

$$\begin{eqnarray*} E_z(\rho',\varphi ) &=& -\frac{1}{4}\omega\mu I_0 \sum_{n=... ...n}^{(2)}}'(kd)\cos n\varphi } ,&(\rho'>d) \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

が得られる。