解法２： 直接界と２次界

まず、線電流源からの放射界（１次界）を求め、 次に、円筒導体による散乱界（２次界）を円筒の境界条件などより決定する。

補助解(１次界)

$z$軸上に置かれた線電流源$I_0$からの放射界は、 放射条件と$\varphi$についての対称性を考慮して、

$$\mbox{\large$\phi$}_1(\rho) = A H_{0}^{(2)}(k\rho)$$

と表すことができる。 ここで、$A$は波源の強さによって決まる定数である。

このときの磁界は、

$$\begin{eqnarray*} H_\varphi ^{\mbox{\scriptsize {(1)}}} &=& \frac{1}{j\omega\... ...\partial \rho} \\ &=& -\frac{kA}{j\omega\mu}H_{1}^{(2)}(k\rho) \end{eqnarray*}$$

と表される。 ここで、ベッセル関数の公式[III p.159(ii)]^2.1

$${H_{0}^{(2)}}'(z)=-H_{1}^{(2)}(z)$$

を利用している。

特に、$k\rho\ll1$の場合には式(A.9)より、

$$H_\varphi ^{\mbox{\scriptsize {(1)}}} \simeq -\frac{2A}{\pi\omega\mu}\frac{1}{\rho} ,\quad(k\rho\ll1)$$

と表される。

$\rho=0$のまわりで磁界 $H_\varphi ^{\mbox{\scriptsize {(1)}}}$を積分すると アンペアの公式より、

$$\lim_{\rho\to0}\int_0^{2\pi} H_\varphi ^{\mbox{\scriptsize {(1)}}}\rho\,d\phi = I_0 ,\quad(\rho\to0)$$

となる。 この関係式に上の磁界の近似式を代入して整理すると、

$$A= -\frac{1}{4}\omega\mu I_0$$

が得られる。

したがって、線電流源からの放射電界は

$$\mbox{\large$\phi$}_1(\rho) = -\frac{1}{4}\omega\mu I_0H_{0}^{(2)}(k\rho)$$ (2.4)

と表すことができる。

線電流源が($d,\ 0$)にある場合には、座標を移動して、

$$\mbox{\large$\phi$}_1(\rho,\varphi ) = -\frac{1}{4}\omega\mu I_0 H_{0}^{(2)}(kR)$$

$$R = \sqrt{\rho^2 + d^2 - 2\rho d \cos\varphi }$$

と表すことができる。

ここで、ベッセル関数の加法定理[III p.218]^2.2を用いると

$$H_{0}^{(2)}(kR) = \sum_{n=0}^{\infty} \epsilon_n H_{n}^{(2... ...{\tiny {$>$}}})J_n(k\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}) \cos n\varphi$$

と書き換えられるので、

$$\mbox{\large$\phi$}^{(1)}(\rho,\varphi ) = -\frac{1}{4}\om... ...{\tiny {$>$}}})J_n(k\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}) \cos n\varphi$$ (2.5)

と表される。

円筒導体による散乱界

円筒導体による散乱界は波動方程式を満足し、 放射条件をも満たすので、 界の$\varphi$についての対称性を考慮して、

$$\mbox{\large$\phi$}^{\mbox{\scriptsize {(2)}}}(\rho,\varphi ) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n H_{n}^{(2)}(k\rho)\cos n\varphi$$ (2.6)

と展開できる。 ここで、$A_n$は展開係数であり、境界条件より決定する。

全電界は、円筒導体表面($\rho=a$)で境界条件

$$\mbox{\large$\phi$}(a,\varphi ) = \mbox{\large$\phi$}^{\mb... ...mbox{\large$\phi$}^{\mbox{\scriptsize {(2)}}}(a,\varphi ) = 0$$

を$\varphi$の値によらず満足する。

上の条件式に式(2.5),(2.6)を代入して、 整理すると、

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} [-\frac{1}{4}\omega\mu I_0 \epsilon_n H_{n}^{(2)}(kd)J_n(ka) + A_n H_{n}^{(2)}(ka)] \cos n\varphi = 0 \end{eqnarray*}$$

が得られる。 すべての$\varphi$について上式が成立することから

$$A_n = \frac{1}{4}\omega\mu I_0 \epsilon_n \frac{J_n(ka)}{H_{n}^{(2)}(ka)} H_{n}^{(2)}(kd)$$

が得られる。 したがって、

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) = \mbox{\large$\phi$}^{\mbox{\scriptsize {(1)}}}(\rho,\varphi )+\mbox{\large$\phi$}^{\mbox{\scriptsize {(2)}}}(\rho,\varphi )$$

$$= -\frac{1}{4}\omega\mu I_0 \sum_{n=0}^{\infty} \epsilon_n [ J_n(k\... ...o_{\mbox{\tiny {$<$}}}) ] H_{n}^{(2)}(k\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}) \cos n\varphi$$ (2.7)

と表される。 ただし、

$$\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}= \rho,\quad \rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}= d,\qquad (\rho<d)$$

$$\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}= d,\quad \rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}= \rho,\qquad (\rho>d)$$

を意味する。

なお、式(2.5),(2.6)を個別に用いれば、

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) = -\frac{1}{4}\omega\mu I_0 H_{0}^{(2)}(kR) +\frac{1}{4}\omega\mu I... ...n\frac{J_n(ka)}{H_{n}^{(2)}(ka)} H_{n}^{(2)}(kd)H_{n}^{(2)}(k\rho)\cos n\varphi$$ (2.8)

とも表すことができる。