Bessel関数

ベッセルの微分方程式

$$\frac{\partial^2 f}{\partial{x}^2} +\frac{1}{x}\frac{\partial f}{\partial x} +(1-\frac{\nu^2}{x})f = 0$$ (A.8)

は１次独立な解$J_\nu(x)$と$Y_\nu(x)$を持つ、 これらの解は、それぞれ、$\nu$次のBessel関数、および、 $\nu$次のNeumann関数と呼ばれている。

$n$が自然数であるとき、次の式で表される。 また、 $J_n(x)$はすべての$x$について有界、かつ、連続である。 $Y_n(x)$は$x=0$を除いて連続である。

$$\begin{eqnarray*} J_\nu(x) &=& (\frac{x}{2})^\nu \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac... ...(-1)^n\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu} \right]_{\nu=n} \end{eqnarray*}$$

特に、$x\simeq0$において、

$$J_n(x) \simeq \frac{1}{n!}(\frac{x}{2})^{n}$$ (A.9)

$$Y_n(x) \simeq \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{ \frac{2}{\pi}\log\frac{x... ...splaystyle{ -\frac{(n-1)!}{\pi}(\frac{x}{2})^{-n} },&(n\ge1) \end{array}\right.$$ (A.10)

と近似できる。

ベッセル関数とノイマン関数の線形結合で表される、 第１種、および、第２種の$\nu$次のHankel関数

$$\begin{eqnarray*} H_\nu^{(1)}(x) &=& J_\nu(x) + j Y_\nu(x)\\ H_\nu^{(2)}(x) &=& J_\nu(x) - j Y_\nu(x) \end{eqnarray*}$$

もBesselの微分方程式を満足する。

$x\gg1$において、

$$\begin{array}{lcl} J_\nu(x) &\simeq& \displaystyle{ \sqrt... ...exp[-j(x-\frac{2\nu+1}{4}\pi)]}, \quad(x\to\infty) \end{array}$$ (A.11)

と近似される。（漸近展開）[IIIp.153]^A.1

この近似式からもわかるように、第１種Hankel関数は$x\to0$へ収束する波を表し、 第２種Hankel関数は$x\to\infty$へ放射する波を表す。

次に、

$$W(x) = J_n(x)Y'_n(x)-J'_n(x)Y_n(x)$$

と置き、両変を$x$で微分すると、

$$W'(x) = J_n(x)Y''_n(x) - J''_n(x)Y_n(x)$$

となる。$J_n(x)$,$Y_n(x)$がともにベッセルの微分方程式(A.8)を 満足するので、式(A.8)を用いて右辺の２階微分を消去して整理すると、

$$W'(x) = -\frac{1}{x}W(x)$$

が得られる。 この式は、$W(x)$についての斉次な１階線形微分方程式であり、その一般解は、

$$W(x) = \frac{C}{x}$$

となる。 ここで、$C$は定数であり、次のようにして求めることができる。

$x\to0$とすると、$x\simeq0$でのベッセル関数の近似式より

$$\begin{eqnarray*} xJ_0(x)Y'_0(x) &\to& \frac{2}{\pi}\\ xJ'_0(x)Y_0(x) &\simeq... ...i},\quad(n>0)\\ xJ'_n(x)Y_n(x) &\to& -\frac{1}{\pi},\quad(n>0) \end{eqnarray*}$$

となるので、

$$xW(x) \to \frac{2}{\pi}, \qquad(x\to0)$$

である。 この式と先ほどの微分方程式の一般界を比べると$C=2/\pi$が求まる。

以上より、

$$J_n(x)Y'_n(x)-J'_n(x)Y_n(x) = \frac{2}{\pi x}$$

が成立することが証明された。 同様の関係式として

$$J_n(x){H_n^{(2)}}'(x) - J'_n(x)H_n^{(2)}(x) = -\frac{2j}{\pi x}$$ (A.12)

が成立する。