Legendre関数の性質

微分方程式

$$(1-z^2)\frac{d^2u}{dz^2} -2z\frac{du}{dz} +[n(n+1)-\frac{m^2}{1-z^2}]u = 0$$

の解をLegendre陪関数と呼び、 $P_n^m(z)$, $Q_n^m(z)$と表す。 特に、$m=0$の場合の解をLegendre関数と呼び、 $P_n(z)$, $Q_n(z)$と表す。

$P_n(z)$(n次の第１種Legendre関数)は$z$の$n$次の多項式であり、 常に、

$$P_n(1)=1$$

が成立する。

$Q_n(z)$(n次の第２種Legendre関数)は$z=\pm1$において発散する。

$P_n(z)$の[$-1$,$1$]での積分：

$$\int_{-1}^{1} P_n(z)P_m(z)dz = \left\{ \begin{array}{ll} 0,&(n\ne m)\\ \displaystyle{\frac{2}{2n+1}},&(n=m) \end{array}\right.$$ (A.6)

$$\int_{-1}^{1} P_n(z)dz = \left\{ \begin{array}{ll} 0,&(n>0)\\ 2,&(n=0) \end{array}\right.$$ (A.7)