解法１：固有関数展開

波源を含む面を境界として領域を２つに分けて波動方程式の解で展開する。 その後、境界面での解の連続条件より展開係数を決定する。

領域の分割: 以下の２つの領域に分けて解析する。

• 領域I: $a \le \rho < d$
• 領域II: $\rho > d$

解を構成する上で必要となる境界条件などを以下に示す。

1. 求める解は$\varphi$に関して周期$2\pi$の周期関数となる。 さらに、界の対称性より$\varphi$の偶関数となる。
2. 円筒表面($\rho=a$)に於いて
   
   $$\mbox{\large$\phi$}(a,\varphi ) = 0$$
   
   

3. 遠方($\rho\to\infty$)に於いて、放射条件を満足する。
   
   $$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) \simeq O(\frac{1}{\sqrt{\rho}} \exp[-jk\rho])$$
   
   

4. 境界面$\rho=d$に於いて、電界の連続条件を満足する。
   
   $$\mbox{\large$\phi$}(d+0,\varphi ) = \mbox{\large$\phi$}(d-0,\varphi )$$
   
   

5. 磁界は$\rho=d$に於いて、線電流源に起因した不連続を生じる。
   
   $$H_\varphi (d+0,\varphi ) - H_\varphi (d-0,\varphi ) = J(\varphi )$$
   
   

上の条件1-4を考慮し、波動方程式の解を用いて電界を

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) = \sum_{n=0}^{\infty} ... ... {$<$}}})H_{n}^{(2)}(k\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}})\cos n\varphi$$ (2.1)

と展開する。 ただし、

$$Z_n(k\rho) = J_n(k\rho) -\frac{J_n(ka)}{H_{n}^{(2)}(ka)} H_{n}^{(2)}(k\rho)$$ (2.2)

であり、

$$\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}= \rho,\ \ \rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}= d,\ \ (\rho<d)$$

$$\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}= d,\ \ \rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}= \rho,\ \ (\rho>d)$$

を意味する。

このとき、

$$H_\varphi = \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle{ \fra... ...}^{(2)}}'(kd)\cos n\varphi } &,(\rho > d) \end{array}\right.$$

と表される。 ただし、 ${Z_n}'(z),\ {H_{n}^{(2)}}'(z)$は、 それぞれ、 $Z_n(z),\ H_{n}^{(2)}(z)$の導関数を表す。

境界面上($\rho=d$)での電流密度は、

$$J(\varphi ) = \frac{I_0}{d}\delta(\varphi )$$

と表される。 この式を条件5に代入して、整理すると、

$$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} A_n [J_n(kd){H_{n}^{(2)}}'(kd)-{J_n}'(kd)... ...(kd)]\cos n\varphi = \frac{j\omega\mu I_0}{kd}\delta(\varphi ) \end{eqnarray*}$$

を得る。

ここで、公式(A.12) を用いると、

$$\sum_{n=0}^{\infty} A_n\cos n\varphi = -\frac{\pi\omega\mu I_0}{2}\delta(\varphi )$$

となり、両辺に$\cos m\varphi$を掛けて $-\pi\le\varphi \le\pi$で積分し、 整理すると、

$$A_m = -\frac{1}{4}{\epsilon_m\omega\mu I_0}$$

が得られる。 ここで、

$$\epsilon_m = \left\{ \begin{array}{ll} 1,&(m=0)\\ 2,&(m\ne 0) \end{array}\right.$$

を意味する。

以上より、電界は

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) = -\frac{1}{4}\omega\m... ... {$<$}}})H_{n}^{(2)}(k\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}})\cos n\varphi$$ (2.3)

と表される。