解法１: 固有関数展開

誘電体表面、および、電流源を含む面を境界として領域を３つに分ける。

• 領域I: $a<\rho<b$
• 領域II: $b<\rho<d$
• 領域III: $\rho > d$

各領域で、波動方程式の円筒座標系での解をもとに 電界を展開し、 以下の条件より電界を決定する。

1. $\rho=a$での境界条件
   
   $$\mbox{\large$\phi$}(a,\varphi ) = 0$$
   
   

2. 界の周期性と、対称性
   
   $$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) = \mbox{\large$\phi$}(\rho,2\pi+\varphi )$$
   
   
   
   
   $$\mbox{\large$\phi$}(-\rho,\varphi ) = \mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi )$$
   
   

3. $\rho=b$での電界、および、磁界の接線成分の連続条件
4. $\rho=d$での電界の連続条件
5. $\rho=d$で磁界は線電流源に対応した不連続を持つ。
6. $\rho\to\infty$で放射条件を満足する。

条件1,2,4,6を考慮して、 次のように電界を展開する。

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) = \left\{\begin{array}{l... ...(2)}(k_0\rho)\cos n\varphi },& (\rho>d) \end{array}\right.$$ (2.23)

ただし、$Z_n(k\rho)$は

$$Z_n(k\rho) = J_n(k\rho) -\frac{J_n(ka)}{H_{n}^{(2)}(ka)} H_{n}^{(2)}(k\rho)$$

であり、式(2.2)で定義した関数である。

条件3より、

$$\mbox{\large$\phi$}(b+0,\varphi ) = \mbox{\large$\phi$}(b-0,\varphi )$$

$$\frac{\partial }{\partial \rho}\mbox{\large$\phi$}(b+0,\varph... ...rac{\partial }{\partial \rho}\mbox{\large$\phi$}(b-0,\varphi )$$

であるから、

$$Z_n(kb)A_n = H_{n}^{(2)}(k_0b)B_n+J_n(k_0b)H_{n}^{(2)}(k_0b)C_n$$ (2.24)

$$\sqrt{\varepsilon _r}{Z_n}'(kb)A_n = {H_{n}^{(2)}}'(k_0b)B_n+{J_n}'(k_0b)H_{n}^{(2)}(k_0b)C_n$$ (2.25)

条件5より、

$$\begin{eqnarray*} \frac{k}{j\omega\mu}\sum_{n=0}^{\infty}[ C_n{H_{n}^{(2)}}'(k_... ...d){J_n}'(k_0d)] \cos n\varphi = \frac{I_0}{d}\delta(\varphi ) \end{eqnarray*}$$

が得られるので、

$$C_n = -\frac{1}{4}\omega\mu I_0 \epsilon_n$$ (2.26)

が求まる。

式(2.24)-(2.27)を連立方程式として解けば、 展開係数が求まる。 途中で式(A.12)を利用して整理すれば、

$$\begin{eqnarray*} A_n &=& -\frac{1}{4}\omega\mu I_0 \epsilon_n \frac{2j/(\pi k... ...n}^{(2)}(k_0b) - Z_n(kb){H_{n}^{(2)}}'(k_0b)} H_{n}^{(2)}(k_0b) \end{eqnarray*}$$

が得られる。