楔による回折界

前章で求めた導体楔による回折界の高周波近似解を求める。 すなわち、波源、および、観測点が楔の先端より充分に遠い場合について の界の近似式を求め、回折界の特性を検討する。

前章で求めたように楔による回折界は、

$$E_z(\rho,\varphi ) = -\frac{\omega\mu}{p}I_0 \sum_{n=1}^{\infty} J_{\nu_n}(k\rho_{\mbo... ..._{\nu_n}^{(2)}(k\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}) \sin\nu_n\varphi _0 \sin\nu_n\varphi$$

$$= -\frac{\omega\mu}{2p}I_0 \sum_{n=0}^{\infty} \epsilon_n J_{\nu_n}... ..._{\nu_n}^{(2)}(k\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}) \sin\nu_n\varphi _0 \sin\nu_n\varphi$$ (3.1)

と表される。 ここで、 $(\rho_0, \varphi _0)$は波源である線電流源の座標（円筒座標系）であり、 $(\rho,\varphi )$は観測点の座標を表す。 また、 $\nu_n=n/p$, $p=(2\pi-\Omega)/\pi$である。

図 3.1: 導体楔

いま、波源は充分に遠いとして、ベッセル関数の漸近展開式 (A.11)

$$H_{\nu}^{(2)}(k\rho_0) \simeq \sqrt{\frac{2j}{\pi k\rho_0}}e^{-j(k\rho_0-{\nu\pi}/{2})}$$

を代入すると、

$$E_z(\rho,\varphi ) \simeq -\frac{\omega\mu}{2p}I_0 \sqrt... .../{2}} J_{\nu_n}(k\rho) \sin\nu_n\varphi _0 \sin\nu_n\varphi$$

と表される。

三角関数の積和の公式

$$\sin\nu_n\varphi \sin\nu_n\varphi _0 = \frac{1}{2}\{ \cos\nu_n(\varphi -\varphi _0) - \cos\nu_n(\varphi +\varphi _0) \}$$

を用いると、上式は、

$$E_z(\rho,\varphi ) \simeq -\frac{\omega\mu}{4}I_0 \sqrt{... ...[f(\varphi -\varphi _0)-f(\varphi +\varphi _0)] e^{-jk\rho_0}$$ (3.2)

と表される。 ここで、

$$f(\phi) = \frac{1}{p}\sum_{n=0}^{\infty}\epsilon_n e^{{\nu_n\pi j}/{2}} J_{\nu_n}(k\rho) \cos\nu_n\phi$$ (3.3)

である。

楔の先端での入射界で規格化すると、式(2.12)と同様にして、

$$\overline{E_z}(\rho,\varphi ;\varphi _0) = f(\varphi -\varphi _0)-f(\varphi +\varphi _0)$$ (3.4)

と表すことができる。

ベッセル関数を

$$J_\nu(k\rho) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi+j\infty}^{\pi+j\infty} e^{-j(k\rho\sin t -\nu t)} dt$$

と積分表示し、積分と総和の順序を交換すると、

$$f(\phi) = \frac{1}{2p\pi} \int_{-\pi+j\infty}^{\pi+j\inf... ..._n e^{j\nu_n (t+\pi/2)} \cos\nu_n\phi] e^{-jk\rho\sin t} dt$$

と表される。

$\nu_n=n/p$, $p=(2\pi-\Omega)/\pi$であるから、 $\mbox{Im}(t)>0$のとき、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \sum_{n=0}^{\infty}\epsilon_n e^{j\nu_n (t+\pi/2)}... ...in\frac{t+\pi/2}{p}} {\cos\frac{t+\pi/2}{p}-\cos\frac{\phi}{p}} \end{eqnarray*}$$

と変形できるから、

$$f(\phi) = \frac{1}{2p\pi j} \int_{-\pi+j\infty}^{\pi+j\i... ...cos\frac{t+\pi/2}{p}-\cos\frac{\phi}{p}} e^{-jk\rho\sin t} dt$$

と書き換えられる。 上式は変数変換$\xi=t+\pi/2$の後、

$$f(\phi) = \frac{1}{2p\pi j} \int_\Gamma \frac{\sin\frac... ...\cos\frac{\xi}{p}-\cos\frac{\phi}{p}} e^{jk\rho\cos \xi} d\xi$$ (3.5)

と書き換えられる。 この積分で、被積分関数は分岐点を持たず、 $-\pi<\mbox{Re}\xi<0$, $\mbox{Im}\xi\to+\infty$ 、および、 $\pi<\mbox{Re}\xi<2\pi$, $\mbox{Im}\xi\to+\infty$で 指数関数的に$0$に収束する。 また、１位の極が実軸上に存在する。 以上より、積分路を図3.2(a)のように 変更することができる。

図 3.2: 積分路$\Gamma$

$\mbox{Re}\xi<0$の部分を$\xi\to-\xi$と変換すると、 積分は図3.2(b)に示す積分路に沿ったものに変更することができる。 よって、積分は、実軸上の極の回りの積分と、 虚軸と平行な $\mbox{Re}\xi=\pi$での積分に分けることができる。

式(3.5)の極は、 $\xi=\pm\phi+2np\pi, (n=0,\pm1,\pm2,\cdots)$に存在し、 その留数は

$$\begin{eqnarray*} \mbox{Res}\left. \frac{\sin\frac{\xi}{p}} {\cos\frac{\xi}{p... ...rac{\xi}{p}} {\cos\frac{\xi}{p}-\cos\frac{\phi}{p}} \\ &=& -p \end{eqnarray*}$$

であるので、この極の回りの積分は、

$$e^{jk\rho\cos(\pm\phi+2np\pi)} =e^{jk\rho\cos(\phi\mp2np\pi)}$$

となり、その総和は、

$$\sum_{n}^{0<\pm\phi+2np\pi<\pi} e^{jk\rho\cos(\phi\mp2np\p... ...m_{n}^{\vert\phi+2np\pi\vert<\pi} e^{jk\rho\cos(\phi+2np\pi)}$$

となる。

また、虚軸と平行な積分路 $(\pi-\infty,\pi+\infty)$に沿った積分は、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \frac{1}{2p\pi j} \int_{\pi-j\infty}^{\pi+j\infty}... ...rac{\xi'+\pi}{p}-\cos\frac{\phi}{p}} e^{-jk\rho\cos \xi'} d\xi' \end{eqnarray*}$$

と表される。

したがって、式(3.5)は

$$f(\phi) = \sum_{n}^{\vert\phi+2np\pi\vert<\pi} e^{jk\rho\cos(\phi+2np\pi)} +f_D(\phi)$$ (3.6)

$$f_D(\phi) = \frac{1}{2p\pi j} \int_{-j\infty}^{+j\infty} \frac{\sin\frac{\xi'+\pi}{p}} {\cos\frac{\xi'+\pi}{p}-\cos\frac{\phi}{p}} e^{-jk\rho\cos \xi'} d\xi'$$ (3.7)

と表される。 ただし、第１項の$\sum$は

$$\vert\phi+2np\pi\vert<\pi$$ (3.8)

の範囲での総和を意味する。

$f_D$の積分は、$k\rho\gg1$の場合に、停留値法を用いて近似することができる。 停留点は、

$$\frac{d}{d\xi'}\cos\xi' = 0$$

より、$\xi'=0$であるので、

$$f_D(\phi) \simeq \frac{1}{2p\pi j} \frac{\sin\frac{\pi}{... ...-\cos\frac{\phi}{p}} \sqrt{\frac{2\pi j}{k\rho}} e^{-jk\rho}$$ (3.9)

と近似できる。