直接界と２次界

全体の電位分布は、あらかじめ与えられた電荷による直接界(１次界)と、 境界面上の誘導電荷、および、 電気的２重層によりつくられる２次界とに分けることができる。 境界面上に誘導される電荷、および、電気的２重層からの界は、 境界面を除いた空間ではラプラスの方程式を満足するので、 この方程式の解(固有関数)を用いて展開し、 境界面上での境界条件より展開係数を決定することができる。

[例3] 導体球と点電荷

再び、図1.1に示す問題を解く。 点電荷が座標の原点に置かれた場合の電位分布は、

$$\mbox{\large$\phi$}(R) = \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon }\frac{1}{R}$$

と表されるので、 ここでは電位を

$$\mbox{\large$\phi$}(r,\theta) = \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon }\frac{1}{\sqrt{r^2+b^2-2rb\cos\theta}} +\sum_{n=0}^{\infty} A_n r^{-(n+1)}P_n(\cos\theta)$$ (1.16)

と展開することができる。 ここで、第１項は$(0,0,b)$に置かれた点電荷による電位(１次界)、 第２項は導体球による摂動項(２次界)を表す。

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{r^2+b^2-2rb\cos\theta}} &=& \frac{1}{b}\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{r}{b})^n P_n(\cos\theta), \quad(r<b) \end{eqnarray*}$$

と表されることを利用して変形すると 電位は、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\large$\phi$}(r,\theta) &=& \sum_{n=0}^{\infty}[ \fr... ...(\frac{r}{b})^n +A_n r^{-(n+1)}] P_n(\cos\theta), \quad(a<r<b) \end{eqnarray*}$$

と表すことができる。

$r=a$での境界条件(導体球表面)

$$\mbox{\large$\phi$}(a,\theta) = \mbox{\large$\phi$}_0$$

より、

$$\begin{eqnarray*} A_0 &=& -\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon }\frac{a}{b} + a\mbox{\l... ...frac{Q_0}{4\pi\varepsilon }\frac{a^{2n+1}}{b^{n+1}}, \quad(n>0) \end{eqnarray*}$$

が得られる。

したがって、電位は

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\large$\phi$}(r,\theta) &=& \sum_{n=0}^{\infty}[ \fr... ...s\theta) +\frac{a}{r}\mbox{\large$\phi$}_0, \qquad\qquad(a<r<b) \end{eqnarray*}$$

と表すことができる。

ここで、観測点を $\mbox{\boldmath${r}$}=(x,y,z)$と表し、 $\mbox{\boldmath${b}$}=(0,0,b)$、 $\mbox{\boldmath${p}$}=(0,0,a^2/b)$と表すと、上式は

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\large$\phi$}(r,\theta) &=& \frac{Q_0}{4\pi\varepsilo... ...+a\mbox{\large$\phi$}_0\frac{1}{\vert\mbox{\boldmath${r}$}\vert} \end{eqnarray*}$$

と書き換えられるので、求める電位は $(0,0,b)$に置かれた点電荷$Q_0$、 $(0,0,a^2/b)$に置かれた等価的な点電荷$aQ_0/b$、 および、 原点に置かれた等価的な点電荷 $-4\pi a\varepsilon \mbox{\large$\phi$}_0$ による電位の和として表される。