境界値問題の厳密解(static field, 静電界)

ここでは、均質媒質中での電界、および、電位分布の 厳密解を求めるための３通りの方法について説明する。

空間中の電荷分布を$\sigma$、媒質の誘電率を$\varepsilon$と表す。 このとき、電位 $\mbox{\large$\phi$}$、および、電界 $\mbox{\boldmath${E}$}$は、

$$\mbox{div}\mbox{\boldmath${E}$} = \sigma/\varepsilon$$

$$\mbox{\boldmath${E}$} = -\mbox{grad}\mbox{\large$\phi$}$$

を満足する。

上式より電界を消去すると、 電位についてのポアソンの方程式

$$\nabla^2 \mbox{\large$\phi$}= -\sigma/\varepsilon$$

が得られる。

特に、電荷が存在しない空間では、上式の右辺が$0$となり ラプラスの方程式が得られる。 これらの方程式を適切な境界条件のもとで解くことにより 電位分布を求めることができる。