解法１: 固有関数展開

領域をI($\rho<d$), II($\rho > d$)の２つに分ける。 楔表面で境界条件

$$E_z = 0,\quad(\varphi =0,\,2\pi-\Omega)$$

より、電界は $\sin(n\pi\varphi /(2\pi-\Omega)),\ (n=1,2,3,\cdots)$ で展開することができる。 また、$\rho=d$での電界の連続性、および、$\rho\to\infty$での 放射条件を考慮すれば 波動方程式の解を用いて、以下のように電磁界を展開できる。

$$\begin{eqnarray*} E_z(\rho,\varphi ) &=& \mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi )\\ ... ... H_{\nu_n}^{(2)}(k\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}) \sin\nu_n\varphi \end{eqnarray*}$$

ただし、$A_n$は未知系数であり、

$$\nu_n = \frac{n}{p}$$

$$p = \frac{2\pi-\Omega}{\pi}$$

を表す。また、 $\rho_{\mbox{\tiny {$<$}}},\,\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}$は、

$$\begin{eqnarray*} \rho_{\mbox{\tiny {$<$}}}=\rho,\ \rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}=d,... ...mbox{\tiny {$<$}}}=d,\ \rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}=\rho,&&(\rho>d) \end{eqnarray*}$$

を表す。

このとき、

$$\begin{eqnarray*} H_\varphi (d+0,\varphi )-H_\varphi (d-0,\varphi ) &=& \frac{1... ...=& -\frac{2}{\pi\eta kd}\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\nu_n\varphi \end{eqnarray*}$$

となるから、これをアンペアの法則より得られる、

$$H_\varphi (d+0,\varphi )-H_\varphi (d-0,\varphi ) = \frac{I_0}{d}\delta(\varphi -\varphi _0)$$

に代入し、 $\sin{\nu_m}\varphi$をかけて、 $0<\varphi <2\pi-\Omega$で 積分し整理すると次式を得る。

$$-\frac{2p}{\eta kd}A_m = \frac{I_0}{d}\sin\nu_m\varphi _0$$

上式の導出にあたっては公式(A.12)を利用している。

この式を$A_m$について解けば、

$$A_m = -\frac{1}{p}\omega\mu I_0\sin\nu_m\varphi _0$$

を得る。

以上より、電界は

$$E_z(\rho,\varphi ) = -\frac{1}{p}\omega\mu I_0 \sum_{n=1}^\infty \epsilon_n J_{\nu_n}(... ...H_{\nu_n}^{(2)}(k\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}) \sin\nu_n\varphi _0\sin\nu_n\varphi$$ (2.20)

と表される。

また、磁界の$\rho$成分は

$$H_\rho(\rho,\varphi ) = -\frac{1}{j\omega\mu} \frac{1}{\rh... ...partial \mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi )}{\partial \varphi }$$

より、

$$H_\rho(\rho,\varphi ) = -\frac{jI_0}{p^2}\frac{1}{\rho} \... ...ho_{\mbox{\tiny {$>$}}}) \sin\nu_n\varphi _0\cos\nu_n\varphi$$

と表される。 したがって、楔表面の電流分布は$\varphi =0$の面において、

$$J_z(\rho) = \frac{jI_0}{p^2}\frac{1}{\rho} \sum_{n=1}^{\i... ...{\nu_n}^{(2)}(k\rho_{\mbox{\tiny {$>$}}}) \sin\nu_n\varphi _0$$

と表される。

ここで、楔の稜線近傍での界の振舞いを調べる。

式(A.9)より、

$$J_\nu(z) \simeq O(z^n),\quad(\vert z\vert\to0)$$

であるから、上の電磁界の表現式において$n=1$の項が主要項となり、

$$E_z(\rho,\varphi ) = O(\rho^{\nu_1}) = O(\rho^{1/p})$$ (2.21)

$$J_z(\rho) = O(\rho^{1/p-1})$$ (2.22)

となることがわかる。

$0\le\Omega<\pi$の場合には$1/p-1<0$となるので 楔の先端が尖っている場合に、稜線と平行な電流は発散する。