解法１: 固有関数展開

領域を$x>0$と$x<0$の２つに分け、それぞれの領域で界を波動方程式の解で展開する。 $y=0, a$での境界条件、および、$x=0$での電界の連続条件を考慮して、

$$\mbox{\large$\phi$}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\frac{n\pi y}{a} e^{-\Gamma_n \vert x\vert}$$ (2.14)

と展開する。 ここで、

$$\Gamma_n = \sqrt{(\frac{n\pi}{a})^2 - k^2} = j\sqrt{k^2 - (\frac{n\pi}{a})^2}$$

であり、 $\mbox{TE}_{n0}$モードの伝搬定数を表す。

$x=0$での磁界の不連続が電流源に対応し、 $x=0$での電流分布はディラックのデルタ関数を利用して、

$$J(y) = I_0\delta(y-b)$$

と表されるので、

$$H_y(+0,y)-H_y(-0,y) = I_0 \delta(y-b)$$

$$\frac{1}{j\omega\mu}[ \frac{\partial \mbox{\large$\phi$}(+0,... ...ial \mbox{\large$\phi$}(-0,y)}{\partial x} ] = I_0\delta(y-b)$$

が成立する。 上式に式(2.14)を代入し、整理すると、

$$-\frac{2}{j\omega\mu} \sum_{n=1}^{\infty} \Gamma_n A_n \sin\frac{n\pi y}{a} = I_0\delta(y-b)$$

が得られる。 両辺に $\sim(m\pi y/a)$をかけて$0\le y\le a$で積分することにより 展開係数$A_n$が求まる：

$$A_n = -\frac{j\omega\mu I_0}{a\Gamma_n}\sin\frac{n\pi b}{a}$$

以上より、

$$\mbox{\large$\phi$}(x,y) = -j\omega\mu I_0 \sum_{n=1}^{\... ...ac{n\pi b}{a} \sin\frac{n\pi y}{a} e^{-\Gamma_n \vert x\vert}$$ (2.15)

が得られる。