微小ダイポールからの放射界

方程式(B.5)において、 電流源が原点に置かれた$z$軸方向を向いた微小ダイポール$Id\ell$である場合、

$$A_x = A_y = 0$$

であり、 $z$成分については、

$$\nabla^2A_z + k^2 A_z = -\mu\delta(\mbox{\boldmath${r}$})Id\ell$$ (B.6)

が成立する。 ここで、右辺の $\delta(\mbox{\boldmath${r}$})$はDiracの$\delta$関数である。

この方程式の原点を中心とした回転対称な解は

$$A_z(r) = \frac{c}{r}e^{-jkr}$$

である。 ここで、放射条件を考慮して$e^{jkr}/r$は除いている。 また、$C$は波源の強さによって決まる定数である。

方程式(B.6)の両辺を原点を中心とする半径$r$の微小体積で積分し 上の解を代入して、$r\to0$の極限値を計算する。 このとき、

$$\begin{eqnarray*} \int_V\nabla^2A_z dv &=& \int_S \,\mbox{grad}\,A_z dS\\ &=&... ...,\quad(r\to0)\\ \int_V \delta(\mbox{\boldmath${r}$})dv &=& 1 \end{eqnarray*}$$

であるから。

$$-4\pi C = -\mu Id\ell$$

$$C = \frac{\mu I d\ell}{4\pi}$$

したがって、

$$A_z = \frac{\mu I d\ell}{4\pi}\frac{\exp[-jkr]}{r}$$ (B.7)

と表される。

ここで、

$$G(r) = \frac{1}{4\pi}\frac{\exp[-jkr]}{r}$$ (B.8)

と置くと、

$$A_z = \frac{\mu Id\ell}{4\pi} G(r)$$ (B.9)

と表される。 このとき

$$\begin{eqnarray*} \,\mbox{div}\,\mbox{\boldmath${A}$} &=& \frac{\partial A_z}... ...ldmath${r}$}} +\frac{G'(r)}{r}\widehat{\mbox{\boldmath${z}$}}\} \end{eqnarray*}$$

と表される。 ただし、 $\widehat{\mbox{\boldmath${r}$}}$、および、 $\widehat{\mbox{\boldmath${z}$}}$は、それぞれ、 $r$、および、$z$軸方向を向いた単位ベクトルである。

以上より、電界は

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\boldmath${E}$} &=& \frac{\mu Id\ell}{4\pi}[ \frac{z... ...)+\frac{1}{k^2}\frac{G'(r)}{r}\}\widehat{\mbox{\boldmath${z}$}}] \end{eqnarray*}$$

と表される。