ベクトルポテンシャル

磁束についての保存則

$$\,\mbox{div}\,\mbox{\boldmath${B}$} = 0$$

より、 磁束密度は任意のベクトル関数 $\mbox{\boldmath${A}$}$を用いて、

$$\mbox{\boldmath${B}$} = \,\mbox{rot}\,\mbox{\boldmath${A}$}$$ (B.1)

と表すことができる。 これをFaradyの法則に代入すると、

$$\,\mbox{rot}\,\mbox{\boldmath${E}$} + j\omega\mbox{\boldmath${B}$} = 0$$

$$\,\mbox{rot}\,(\mbox{\boldmath${E}$} + j\omega\mbox{\boldmath${A}$}) = 0$$

となるから、任意のスカラ関数 $\mbox{\large$\phi$}$を用いて、

$$\mbox{\boldmath${E}$}+j\omega\mbox{\boldmath${A}$} = -\,\mbox{grad}\,\mbox{\large$\phi$}$$

$$\mbox{\boldmath${E}$}= -\,\mbox{grad}\,\mbox{\large$\phi$}-j\omega\mbox{\boldmath${A}$}$$ (B.2)

と表すことができる。 $\mbox{\boldmath${A}$}$、および、 $\mbox{\large$\phi$}$を、それぞれ、 ベクトル、および、スカラポテンシャルと呼ぶ。

以上を Ampere-Maxwell の法則

$$\,\mbox{rot}\,\mbox{\boldmath${H}$}-j\omega\varepsilon \mbox{\boldmath${E}$} = \mbox{\boldmath${J}$}$$

に代入し、 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon }$および、ベクトル解析の公式

$$\,\mbox{rot}\,\,\mbox{rot}\,\mbox{\boldmath${A}$} = \,\mbox{g... ...mbox{div}\,\mbox{\boldmath${A}$}-\nabla^2\mbox{\boldmath${A}$}$$

を用いて整理すると

$$\frac{1}{\mu}\,\mbox{rot}\,\,\mbox{rot}\,\mbox{\boldmath${A... ...e$\phi$}+j\omega\mbox{\boldmath${A}$}) = \mbox{\boldmath${J}$}$$

$$\,\mbox{grad}\,[\,\mbox{div}\,\mbox{\boldmath${A}$}-\frac{k... ...ath${A}$}+k^2\mbox{\boldmath${A}$}] = \mu\mbox{\boldmath${J}$}$$

が得られる。

ここで、ポテンシャルの持つ自由度を利用して、

$$\mbox{\large$\phi$}= \frac{j\omega}{k^2}\,\mbox{div}\,\mbox{\boldmath${A}$}$$

と定めると上の式は、

$$\nabla^2\mbox{\boldmath${A}$}+k^2\mbox{\boldmath${A}$} = -\mu\mbox{\boldmath${J}$}$$

となる。

以上をまとめると、電磁界はポテンシャルを用いて、

$$\mbox{\boldmath${B}$} = \,\mbox{rot}\,\mbox{\boldmath${A}$}$$ (B.3)

$$\mbox{\boldmath${E}$} = -\,\mbox{grad}\,\mbox{\large$\phi$}-j\omega\mbox{\boldmath${A}$}$$

$$= -j\omega[\mbox{\boldmath${A}$}+\frac{1}{k^2}\,\mbox{grad}\,\,\mbox{div}\,\mbox{\boldmath${A}$}]$$ (B.4)

と表すことができ、ベクトルポテンシャル $\mbox{\boldmath${A}$}$は、

$$\nabla^2\mbox{\boldmath${A}$}+k^2\mbox{\boldmath${A}$} = -\mu\mbox{\boldmath${J}$}$$ (B.5)

を満足する。