関数の内積

区間$0\le x \le 1$で定義された関数 $f(x)$,$g(x)$に対して、次の性質を持つスカラ演算 $\langle f,g \rangle$を内積と呼ぶ。

$$\langle f,g \rangle = \langle g,f \rangle$$

$$\langle \alpha f+\beta g ,h\rangle = \alpha \langle f,h\rangle + \beta \langle g,h\rangle$$

$$\langle\overline{f},f\rangle \left\{\begin{array}{ll} > 0& (\mbox{if} f\ne 0)\\ = 0& (\mbox{if} f= 0) \end{array}\right.$$

ここで、$\alpha$,$\beta$は定数であり、$f$,$g$,$h$はこの区間で定義された 関数である。 また、$\overline{f}$は$f$の複素共役を意味する。

$$\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)dx$$

は上の内積の条件を満足する。