H波問題

$z$軸方向に境界、および、電磁界は一様であるとする。 $\mbox{\boldmath${r}$}=\mbox{\boldmath${r}$}_s$に置かれた線波源$K_0$からの放射界を入射界として、 ２次元完全導体を散乱体とした場合の界分布を解析する。 このとき、全電磁界は、

$$\mbox{\boldmath${H}$} = (0, 0, \Psi)$$ (5.20)

$$\mbox{\boldmath${E}$} = \frac{1}{j\omega\varepsilon } \mbox{rot}\mbox{\boldmath${H}$}$$

$$= -\frac{1}{j\omega\varepsilon }\widehat{\mbox{\boldmath${z}$}}\times\mbox{grad}\Psi$$ (5.21)

と表すことができて、 波動方程式

$$(\nabla^2+k^2)\Psi = j\omega\varepsilon K_0\delta(\mbox{\boldmath${r}$}-\mbox{\boldmath${r}$}_s)$$ (5.22)

を満足する。 ここで、 $\widehat{\mbox{\boldmath${z}$}}$は$z$軸方向の単位ベクトルである。 また、$\delta$はディラックの$\delta$関数を表す。

ところで、 $\mbox{\boldmath${r}$} = \mbox{\boldmath${r}$}_0$に置かれた線波源からの放射界を

$$H_z^{(0)} = \Psi_0$$

とすると、

$$(\nabla^2+ k^2)\Psi_0 = j\omega\varepsilon \delta(\mbox{\boldmath${r}$} - \mbox{\boldmath${r}$}_0)$$ (5.23)

を満足し、

$$\Psi_0(\mbox{\boldmath${r}$}) = -\frac{\omega\varepsilon }{4} H_0^{(2)}(kR)$$ (5.24)

と表される。 ここで、$H_0^{(2)}$は0次の第2種ハンケル関数であり、 $R=\vert\mbox{\boldmath${r}$}-\mbox{\boldmath${r}$}_0\vert$は波源から観測点までの距離である。

式(5.22)、および、式(5.23)より、

$$\begin{eqnarray*} &&\hspace{-2em} \,\mbox{div}\,(\Psi\mbox{grad}\Psi_0 - \Psi_... ...}_0)-\Psi_0\delta(\mbox{\boldmath${r}$}-\mbox{\boldmath${r}$}_s) \end{eqnarray*}$$

が成立する。 両辺を散乱体を除いた空間で面積分すると、

$$j\omega\varepsilon \Psi(\mbox{\boldmath${r}$}_0) = j\omeg... ...\partial{n}} - \Psi_0\frac{\partial{\Psi}}{\partial{n}}) d\ell$$

となる。 ここで, $${\frac{\partial{}}{\partial{n}}}$$は境界上での法線方向の微分を表す。

境界条件

$$\mbox{\boldmath${E}$}_t = 0$$

より、

$$\frac{\partial{\Psi}}{\partial{n}} = 0$$

であるから、

$$\Psi(\mbox{\boldmath${r}$}_0) +\frac{1}{j\omega\varepsilon... ...i_0}}{\partial{n}}d\ell = K_0 \Psi_0(\mbox{\boldmath${r}$}_s)$$ (5.25)

となる。

上の積分方程式を解くために$\Gamma$を細分割する。

$$\Psi(\mbox{\boldmath${r}$}_0) +\frac{1}{j\omega\varepsilon... ...i_0}}{\partial{n}}d\ell = K_0 \Psi_0(\mbox{\boldmath${r}$}_s)$$ (5.26)

ここで、 $\mbox{\boldmath${r}$}_0$を境界上の要素点に取り、 細分割された各小区間上で$\Psi$は一定であると近似すると、 $\Psi$についての連立方程式が得られる。

$$\sum_{m=1}^{N} A_{n,m} \Psi_m = F_n$$ (5.27)

ただし、

$$A_{n,m} = \delta_{n,m} +\frac{1}{j\omega\varepsilon } \int_{\Gamma_m}\frac{\partial{\Psi_0}}{\partial{n}}d\ell$$ (5.28)

$$F_{n} = = K_0 \Psi_0(\mbox{\boldmath${r}$}_s)$$ (5.29)

$A_{n,m}$は積分を含むので、 さらに、被積分関数が小区間上で一定であると近似すると、

$$A_{n,m} = \delta_{n,m} +\frac{1}{j\omega\varepsilon } \frac{\partial{\Psi_0}}{\partial{n}}\Delta_m$$

式(5.24)より、

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial{\Psi_0}}{\partial{n}} &=& -\frac{\omega\varep... ...&=& \frac{\omega\varepsilon k}{4} H_1^{(2)}(kR) \cos\theta_{mn} \end{eqnarray*}$$

とあらわされる。 ここで、$\theta_{mn}$は法線ベクトルとベクトル $\mbox{\boldmath${R}$}$の間の角度である。 よって、

$$A_{n,m} = \delta_{n,m} -\frac{j}{4} H_1^{(2)}(kR_{nm}) k\Delta_m \cos\theta_{mn}$$

となる。

$n=m$のとき、上式の $H_1^{(2)}(kR_{nm})$は発散し、 $\cos\theta_{mn}$の値は$0$となるので、 $n=m$の場合は別に評価する必要がある。 図3において$C_1$では、 $\theta=\pm\pi/2$であるので、$\cos\theta=0$である。 また、$C_0$では$\theta=-\pi$、$\cos\theta=-1$である。 よって、

$$\begin{eqnarray*} A_{n,n} &=& 1 + \frac{jk}{4} \int_{C_0}H_1^{(2)}(kR) d\ell... ... &=& 1 + \frac{j}{4} H_1^{(2)}(kR) \pi R\\ &\to& \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$

となる。

以上より、

$$A_{n,n} = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{j}{4} H_1^{(2... ...s\theta_{mn}, &(n \ne m)\\ \frac{1}{2} \end{array} \right.$$ (5.30)

と近似できる。