離散近似と代数方程式

散乱体表面に取った座標を$t$とし、 散乱体表面を区間 $[t_{n-1},t_n],\,(n=0,1,2,\cdots,N)$で離散化し、 各区間の中点を要素点 $\mbox{\boldmath${r}$}_n,\,(n=1,2,3,\cdots,N)$とする。 また、各要素の幅を $\Delta_n,\,(n=1,2,3,\cdots,N)$と表す。 このとき、

$$\int_S G(\mbox{\boldmath${r}$}_0:\mbox{\boldmath${r}$})J_z(\mbox{\boldmath${r}$}) dS = \sum_{n=1}^{N} \int_{S_n} G(\mbox{\boldmath${r}$}_0:\mbox{\boldmath${r}$})J_z(\mbox{\boldmath${r}$}) dS$$

$$\simeq \sum_{n=1}^{N} \int_{S_n} G(\mbox{\boldmath${r}$}_0:\mbox{\boldmath${r}$})dS\,J_z(\mbox{\boldmath${r}$}_n)$$ (5.10)

と近似すれば、式(5.9)は

$$\sum_{n=1}^{N} G_{mn}J_n = F_m,\qquad(m=1,2,3,\cdots,N)$$ (5.11)

と近似できる。 ただし、

$$G_{mn} = \int_{S_n} G(\mbox{\boldmath${r}$}_m:\mbox{\boldmath${r}$})dS$$ (5.12)

$$J_n = J_z(\mbox{\boldmath${r}$}_n)$$ (5.13)

$$F_m = -G(\mbox{\boldmath${r}$}_m:\mbox{\boldmath${r}$}_s)I$$

$$= -IH_{0}^{(2)}(k\vert\mbox{\boldmath${r}$}_m-\mbox{\boldmath${r}$}_s\vert)$$ (5.14)

を表す。

$G_{mn}$は、$m\ne n$の場合、

$$\begin{eqnarray*} G_{mn} &=& \int_{S_n} G(\mbox{\boldmath${r}$}_m:\mbox{\bold... ... &=& G(\mbox{\boldmath${r}$}_m:\mbox{\boldmath${r}$}_n)\Delta_n \end{eqnarray*}$$

と近似できる。 $m=n$の場合には $\mbox{\boldmath${r}$}_m=\mbox{\boldmath${r}$}_n$であるから、

$$G(\mbox{\boldmath${r}$}_n:\mbox{\boldmath${r}$}_n) \to \infty$$

となるので、 $\mbox{\boldmath${}$}_m\simeq\mbox{\boldmath${r}$}_n$の場合の近似が必要となる：

$$\begin{eqnarray*} G(\mbox{\boldmath${r}$}_m:\mbox{\boldmath${r}$}) &=& H_{0}^... ...\\ R&=&\vert\mbox{\boldmath${r}$}-\mbox{\boldmath${r}$}_m\vert \end{eqnarray*}$$

と近似できる。 ここで、 $\gamma=0.5772156649\cdots$ ^5.1である。

この式より、

$$\begin{eqnarray*} G_{nn} &\simeq& \int_{-\Delta_n/2}^{\Delta_n/2} [1-j\frac{... ...=& [1-j\frac{2}{\pi}(\gamma-1+\log\frac{k\Delta_n}{4})]\Delta_n \end{eqnarray*}$$

と表すことができる。

以上より、$G_{mn}$は、

$$G_{mn} \simeq \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}^{(2)}(k\v... ...log\frac{k\Delta_n}{4})\}\Delta_n & (n=m) \end{array}\right.$$ (5.15)

と近似できる。