関数方程式

散乱体（完全導体）表面を$S$、線電流源の振幅を$I$、座標を $\mbox{\boldmath${r}$}_s=(x_s,y_s)$とし、 電磁界を $\mbox{\boldmath${E}$}$, $\mbox{\boldmath${H}$}$とする。

いま、散乱体を取り除いて、 $\mbox{\boldmath${r}$}_0=(x_0,y_0)$に振幅１の線電流源を置いたときの 電磁界を $\mbox{\boldmath${E}$}_0$, $\mbox{\boldmath${H}$}_0$と表す。 このとき、ベクトル場の恒等式

$$\,\mbox{div}\,[\mbox{\boldmath${E}$}\times\mbox{\boldmath${... ... - \mbox{\boldmath${H}$}\cdot\mbox{rot}\mbox{\boldmath${E}$}_0$$ (5.1)

の $\mbox{rot}\mbox{\boldmath${E}$}$, $\mbox{rot}\mbox{\boldmath${H}$}$等にマックスウェルの方程式を代入し整理すると、

$$\,\mbox{div}\,[\mbox{\boldmath${E}$}\times\mbox{\boldmath${... ...th${J}$}_0 -\mbox{\boldmath${E}$}_0\cdot\mbox{\boldmath${J}$}$$ (5.2)

なる関係式が得られる。 この式を散乱体を除いた空間で積分すると次式を得る：

$$\int_S[\mbox{\boldmath${E}$}\times\mbox{\boldmath${H}$}_0 -... ... E_z(\mbox{\boldmath${r}$}_0)-IE_{z0}(\mbox{\boldmath${r}$}_s)$$ (5.3)

ここで、添字$-n$は散乱体表面での内側を向いた法線成分を表す。

散乱体表面での電界 $\mbox{\boldmath${E}$}$の接線成分は$0$となることを考慮し、 整理すると、上式は

$$E_z(\mbox{\boldmath${r}$}_0) = IE_{z0}(\mbox{\boldmath${r}$}_s) +\int_S[\mbox{\boldmath${E}$}_0\times\mbox{\boldmath${H}$}]_{n} dS$$

$$= IE_{z0}(\mbox{\boldmath${r}$}_s) -\int_S E_{z0}H_t dS$$

$$= IE_{z0}(\mbox{\boldmath${r}$}_s) +\int_S E_{z0}J_z dS$$ (5.4)

となる。

ここで、$E_{z0}$は

$$E_{z0}(\mbox{\boldmath${r}$}) = -\frac{1}{4}\omega\mu G(\mbox{\boldmath${r}$}:\mbox{\boldmath${r}$}_0)$$ (5.5)

$$G(\mbox{\boldmath${r}$}:\mbox{\boldmath${r}$}_0) = H_{0}^{(2)}(k\vert\mbox{\boldmath${r}$}-\mbox{\boldmath${r}$}_0\vert)$$ (5.6)

と表される。 したがって、式(5.4)は、

$$E_z(\mbox{\boldmath${r}$}_0) =-\frac{1}{4}\omega\mu [G(\m... ...ath${r}$}:\mbox{\boldmath${r}$}_0)Jz(\mbox{\boldmath${r}$}) dS$$ (5.7)

と表される。

式(5.6)より、 $G(\mbox{\boldmath${r}$}:\mbox{\boldmath${r}$}_0)$は $\mbox{\boldmath${r}$}$と $\mbox{\boldmath${r}$}_0$を交換しても変わらない。 したがって、式(5.7)の右辺の第１項は、 散乱体を取り除いて、 $\mbox{\boldmath${r}$}_s$に置いた振幅１の線電流源からの 放射界と等しい。 また、右辺第２項は散乱体表面に誘導された電流 $J_z(\mbox{\boldmath${r}$})$からの 放射界を表している。

次に、 $\mbox{\boldmath${r}$}_0$を散乱体表面に選ぶと、境界条件より、 散乱体表面での電流分布について

$$\int_S E_{z0}J_z dS = -IE_{z0}(\mbox{\boldmath${r}$}_s) ,\qquad\mbox{(on S)}$$ (5.8)

なる方程式が得られ、 この式は

$$\int_S G(\mbox{\boldmath${r}$}_0:\mbox{\boldmath${r}$})J_z(\mbox{... ... dS = -G(\mbox{\boldmath${r}$}_0:\mbox{\boldmath${r}$}_s)I ,\qquad\mbox{(on S)}$$ (5.9)

と書き換えられる。