区分的関数による展開

$z$軸に沿って、アンテナを$N+1$当分割し小区間に分けて、 電流分布について端点条件$I(\pm L) = 0$を考慮して、 区分的な展開関数

$$f_n(z) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{ \frac{... ...& z \le z_{n-1},\ \mbox{or}\ z \ge z_{n+1} \end{array}\right.$$ (4.15)

で展開する。 ただし、

$$\Delta = \frac{2L}{N+1}$$

$$z_n = n \Delta - L,\quad(n=0,1,2,\cdots,N+1)$$

である。

$f_n(z)$を用いて、アンテナ上の電流を

$$I_z(z) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n f_n(z)$$ (4.16)

と近似して、式(4.14)に代入し、 両辺に$f_m(z)$をかけて、$-L\le z\le L$で積分すると 次の方程式が得られる。

$$\sum_{n=1}^{N}\alpha_n\int_{-L}^{+L}\int_{-L}^{+L}[ G(z-z'... ...(z-z') ]f_m(z)f_n(z')dz'dz = \frac{4\pi j}{k\eta}V_0 f_m(0)$$

$$[\ell_{mn}][\alpha_n] = [g_m]$$

ただし、

$$\ell_{mn} = \int_{-L}^{+L}\int_{-L}^{+L}[ G(z-z')-\frac{1}{k^2}\frac{d}{dz'}\frac{d}{dz}G(z-z') ]f_m(z)f_n(z')dz'dz$$

$$g_m = \frac{4\pi j}{k\eta}V_0 f_m(0)$$

である。

この方程式を連立方程式として解けば展開係数$\alpha_m$が求まる。

計算機を用いて数値計算する場合、 $\ell_{mn}$には２重積分が含まれ、このまま数値計算したのでは 大きな計算誤差を伴う。 そこで、積分を変形して２重積分を排除する必要がある。

部分積分を行なうことにより、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \int_{-L}^L \frac{dG(z-z')}{dz}f_m(z)dz }\\ &=&... ...z')f'_m(z)dz\\ &=& -\int_{z_{m-1}}^{z_{m+1}} G(z-z')f'_m(z)dz \end{eqnarray*}$$

と変形される。 同様に、$z'$についても部分積分を行なうと、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \int_{-L}^{+L}\int_{-L}^{+L} \frac{d}{dz'}\frac{d... ...^{z_{m+1}}\int_{z_{n-1}}^{z_{n+1}} G(z-z') f'_m(z)f'_m(z')dz'dz \end{eqnarray*}$$

と変形できる。

したがって、$\ell_{mn}$は、

$$\ell_{mn} = \int_{z_{m-1}}^{z_{m+1}}\int_{z_{n-1}}^{z_{n+1}} G(z-z') \{f_m(z)f_n(z')-\frac{1}{k^2}f'_m(z)f'_n(z')\}dz'dz$$

$$= \{ \int_{z_{m-1}}^{z_{m}}\int_{z_{n-1}}^{z_{n}} +\int_{z_{m}}^{z_... ...^{z_{m}}\int_{z_{n}}^{z_{n+1}} +\int_{z_{m}}^{z_{m+1}}\int_{z_{n-1}}^{z_{n}} \}$$

$$\qquad\times G(z-z')\{f_m(z)f_n(z')-\frac{1}{k^2}f'_m(z)f_n(z')\}dz'dz$$ (4.17)

$$= \frac{1}{k\sin^2 k\Delta}[ -2\cos k\Delta\{F_{m-n-1}+F_{n-m-1}\} + F_{m-n-2}+F_{n-m} + F_{n-m-2}+F_{m-n}]$$ (4.18)

と書換えられる。（付録参照） ただし、

$$F_\ell = \int_0^\Delta G(\ell\Delta+u)\sin ku du$$

である。