半無限導体平板

図に示すように 半無限平板の稜線に沿って$z$軸、導体平板に沿って$x$軸、 導体平板の法線方向に$y$軸を取る。

入射波は$x$-$y$面内で$x$軸から測って$\varphi _0$の方向から$z$軸と垂直に入射する 平面波とし、 入射電界は$z$軸と平行とする：

$$E_z^{(i)}(x,y) = e^{jk(x\cos\varphi _0+y\sin\varphi _0)}$$

この問題は２次元E波問題に分類される。 したがって、散乱電磁界は

$$E_z^{(s)} = \mbox{\large$\phi$}(x,y)$$

$$H_x^{(s)} = -\frac{1}{j\omega\mu}\frac{\partial \mbox{\large$\phi$}(x,y)}{\partial y}$$

と表される。 ただし、 $\mbox{\large$\phi$}(x,y)$は

$$[\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +k^2]\mbox{\large$\phi$}(x,y) = 0$$ (3.22)

を満足する。

ここで、 $k(=\omega\sqrt{\mu\varepsilon })$であり、 解析の都合上、媒質にわずかな損失があると仮定し

$$k = k_r - jk_i,\quad(k_r\gg k_i>0)$$

として解を求めた後に$k_i\to0$とする。

境界条件より導体平板上で電界は、

$$E_z^{(s)}(x,0) + E_z^{(i)}(x,0) = 0,\quad(x>0)$$

を満足する。 また、導体板上での電流は磁界を用いて、

$$\begin{eqnarray*} J_z(x) &=& H_x^{(s)}(x,+0)-H_x^{(s)}(x,-0)\\ &=& -\frac{1}... ...mbox{\large$\phi$}(x,y)}{\partial y}\right\vert _{y=-0} \right] \end{eqnarray*}$$

と表される。

フーリエ変換

$x$についてのFourier変換と逆変換を

$$\widetilde{f}(\alpha) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-j\alpha x} dx$$

$$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \widetilde{f}(\alpha)e^{j\alpha x} d\alpha$$

とし、 $\widetilde{\ }$を付けて像関数を表す。 する。 このとき、フーリエ変換された関数は$\alpha$の複素平面上で次の性質を持つ。

• $x>0$で$f(x)=0$のとき、 $\widetilde{f}(\alpha)$は $\mbox{Im}\alpha>0$で正則である。
• $x<0$で$f(x)=0$のとき、 $\widetilde{f}(\alpha)$は $\mbox{Im}\alpha<0$で正則である。
• $x\to\pm\infty$で
  $$\begin{eqnarray*} f(x) &\simeq& O(e^{-jk\vert x\vert}) \\ &\simeq& O(e^{-k_i\vert x\vert}) ,\qquad(\vert x\vert\to\infty) \end{eqnarray*}$$
  
  
  のとき、 $\widetilde{f}(\alpha)$は $\vert\mbox{Im}\alpha\vert<k_i$で正則である。

$$f(x) \simeq O(e^{-jk\vert x\vert}),\qquad(\vert x\vert\to\infty)$$

を満足する 関数$f(x)$を

$$\begin{eqnarray*} f_+(x) &=& \left\{ \begin{array}{ll} f(x),&(x>0)\\ 0, &(x... ...\ f(x),&(x<0) \end{array}\right.\\ f(x) &=& f_+(x) + f_-(x) \end{eqnarray*}$$

と分け、それぞれ、添字$+$および$-$を付けて表す。 このとき、 $f_\pm(x)$のフーリエ像関数 $\widetilde{f}_+(\alpha)$および $\widetilde{f}_-(\alpha)$は 、それぞれ、複素$\alpha$空間の $\mbox{Im}(\alpha)<k_i$および $\mbox{Im}(\alpha)>-k_i$で正則である。

Wiener-Hopf 方程式

界を$x$方向にFourier変換する。 このとき、波動方程式(3.22)は、

$$[ \frac{\partial^2}{\partial y^2} +(k^2-\alpha^2)]\widetilde{\mbox{\large$\phi$}}(\alpha,y) = 0$$

と表され、この解は

$$\widetilde{\mbox{\large$\phi$}}(\alpha,y) = \widetilde{\mbox{\large$\phi$}}(\alpha,0) e^{-j\gamma(\alpha)\vert y\vert}$$

と表される。 ここで、

$$\begin{eqnarray*} \gamma(\alpha) &=& \sqrt{k^2-\alpha^2}\\ &=& j\sqrt{\alpha^2-k^2} \end{eqnarray*}$$

であり、 解の導出には$\vert y\vert\to\infty$での放射条件を考慮している。

$y=0$での電界 $E_z^{(s)}(x,0)$と電流$J_z(x)$のフーリエ変換を

$$\begin{eqnarray*} \widetilde{E}(\alpha) &=& \widetilde{E_z^{(s)}}(\alpha,0)\\ \widetilde{J}(\alpha) &=& \widetilde{J_z}(\alpha) \end{eqnarray*}$$

と表し、 $\widetilde{\mbox{\large$\phi$}}$を用いて表現すると、

$$\begin{eqnarray*} \widetilde{E}(\alpha) &=& \widetilde{\mbox{\large$\phi$}}(\a... ...a(\alpha)}{\omega\mu} \widetilde{\mbox{\large$\phi$}}(\alpha,0) \end{eqnarray*}$$

と表される。 上式より $\widetilde{\mbox{\large$\phi$}}$を消去すると、

$$\widetilde{J}(\alpha) = \frac{2\gamma(\alpha)}{\omega\mu} \widetilde{E}(\alpha)$$ (3.23)

が得られる。

後に述べる未知関数 $\widetilde{J}(\alpha)$と $\widetilde{E}(\alpha)$の複素$\alpha$平面での 性質より方程式(3.23)はWiener-Hopf方程式に分類される。

境界条件

ここで、

$$\widetilde{E}(\alpha) = \widetilde{E}_+(\alpha) + \widetilde{E}_+(\alpha)$$

$$\widetilde{J}(\alpha) = \widetilde{J}_+(\alpha) + \widetilde{J}_+(\alpha)$$

と分ける。

このとき、電流は導体板上にのみ存在することから、

$$J_z(x) = 0,\qquad(x<0)$$

従って、

$$\widetilde{J}_-(\alpha) = 0$$

となる。 また、

$$\begin{eqnarray*} J_z(x) &=& O(e^{jkx\cos\varphi _0})\\ &=& O(e^{k_ix\cos\varphi }),\quad(x\to+\infty) \end{eqnarray*}$$

となるから、 $\widetilde{J}_+(\alpha)$は $\mbox{Im}(\alpha)<-k_i\cos\varphi$で正則である。

次に、$y=0$での電界は、導体平板上での境界条件より

$$\begin{eqnarray*} \widetilde{E}_+(\alpha) &=& -\int_0^\infty E_z^{(i)}(x,0)e^{... ...a-k\cos\varphi _0) x}dx\\ &=& \frac{j}{\alpha-k\cos\varphi _0} \end{eqnarray*}$$

を満足する。 また、

$$E_z(x,0) = O(e^{jkx}),\qquad(x\to-\infty)$$

であるから、 $\widetilde{E}_-(\alpha)$は $\mbox{Im}(\alpha)>-k_i$で正則である。

以上より、電流と電界の関係式(3.23)は

$$\widetilde{J}_+(\alpha) = \frac{2\gamma(\alpha)}{\omega\mu} [\widetilde{E}_-(\alpha)+\frac{j}{\alpha-k\cos\varphi _0}]$$ (3.24)

と書き換えられる。

端点条件

導体楔による散乱界の解析において、$\Omega=0$と置くと、 エッジ近傍に於いて、

$$\begin{eqnarray*} E_z &=& O(x^{1/2})\\ J_z &=& O(x^{-1/2}),\quad(x\to0) \end{eqnarray*}$$

を満足する。 したがって、このフーリエ変換は

$$\widetilde{E}(\alpha) = O(\alpha^{-3/2})$$ (3.25)

$$\widetilde{J}(\alpha) = O(\alpha^{1/2}), \quad(\vert\alpha\vert\to\infty)$$ (3.26)

なる振る舞いをする。

factorization と decomposition

$\gamma(\alpha)$を

$$\begin{eqnarray*} \gamma(\alpha) &=& \gamma^{(+)}(\alpha) \cdot \gamma^{(-)}(\a... ...&=& \sqrt{k+\alpha}\\ \gamma^{(-)}(\alpha) &=& \sqrt{k-\alpha} \end{eqnarray*}$$

と因数分解し、 式(3.24)に代入して、両辺を$\gamma^{(+)}$で割り算すると、

$$\frac{1}{\gamma^{(+)}(\alpha)}\widetilde{J}_+(\alpha) = \f... ...omega\mu} [\widetilde{E}_+(\alpha) + \widetilde{E}_-(\alpha)]$$ (3.27)