creeping wave

モード展開との比較（数値例、デモ）

導体曲面を伝搬する回折界の特性を検討する目的で、 導体円筒による回折界の高周波近似 ^3.1について検討する。

半径$a$の完全導体円筒に$\varphi =\pi$方向から電界が円筒の中心軸と平行な 平面波が入射した場合の電界分布は 式(2.3)で $\varphi \to\varphi -\pi$と置き換え、 $k\rho_0\to\infty$と置いて ハンケル関数の漸近展開

$$H_{n}^{(2)}(k\rho_0)\sim \sqrt{\frac{2j}{\pi k\rho_0}}e^{-j(k\rho_0-n\pi/2)}$$

を用いた後、円筒中心への入射界

$$-\frac{1}{4}\omega\mu I_0\sqrt{\frac{2j}{\pi k\rho_0}}e^{-jk\rho_0}$$

で規格化して得られる：

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) = \sum_{n=0}^{\infty}\epsilon_n Z_n(k\rho) e^{-jn\pi/2} \cos n\varphi$$ (3.10)

ただし、 $E_z=\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi )$である。 また、

$$Z_n(k\rho) = J_n(k\rho) -\frac{J_n(ka)}{H_{n}^{(2)}(ka)} H_{n}^{(2)}(k\rho)$$ (3.11)

を意味する。

図 3.4: 円筒導体による平面波の散乱

上式を変形すると、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) &=& Z_0(k\rho) +2\sum_{... ...infty} Z_n(k\rho) e^{-jn\pi/2} (e^{jn\varphi }+e^{-jn\varphi }) \end{eqnarray*}$$

と書き換えられる。 ここで、ベッセル関数の性質より

$$\begin{eqnarray*} J_{-n}(z) &=& (-1)^n J_n(z)\\ H_{-n}^{(2)}(z) &=& (-1)^n H_{n}^{(2)}(z) \end{eqnarray*}$$

なる関係が成立するので

$$Z_{-n}(k\rho) = (-1)^n Z_n(k\rho)$$

なる関係が得られる。 したがって、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} Z_n(k\rho) e^{jn(\varphi -\pi/2)} \end{eqnarray*}$$

と表すことができる。

上式をWatson変換により積分表示すると、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) &=& \frac{j}{2}\oint \frac{e^{j\pi\nu}}{\sin\pi\nu} Z(\nu) e^{j\nu(\varphi -\pi/2)}d\nu \end{eqnarray*}$$

と表される。 ただし、

$$\begin{eqnarray*} Z(\nu) &=& J_\nu(k\rho)-\frac{J_\nu(ka)}{H_{\nu}^{(2)}(ka)}... ...}(ka)H_{\nu}^{(1)}(k\rho)-H_{\nu}^{(1)}(ka)H_{\nu}^{(2)}(k\rho)] \end{eqnarray*}$$

を意味する。

図 3.5: 積分路$\Gamma$(Watson変換)

ここで、

$$\begin{eqnarray*} J_\nu(z) &=& \frac{1}{2}[H_{\nu}^{(1)}(z)+H_{\nu}^{(2)}(z)]\\... ...(z) &=& J_{-\nu}(z)-jY_{-\nu}(z) = e^{-j\nu\pi}H_{\nu}^{(1)}(z) \end{eqnarray*}$$

なる関係より、

$$Z(-\nu) = e^{j\nu\pi}Z(\nu)$$

と表すことができて、

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) &=& \frac{j}{2}( \int_{... ...F(2n\pi+\frac{\pi}{2}-\varphi )+F(2n\pi+\frac{\pi}{2}+\varphi )] \end{eqnarray*}$$

と変形できる。 ただし、

$$F(\phi) = \int_{-\infty-j\sigma}^{\infty-j\sigma} Z(\nu) e^{-j\phi\nu}\ d\nu$$ (3.12)

である。

この式の積分路に $\mbox{Im}\nu<0,\ \vert\nu\vert\to\infty$を付け加えて $\nu$の下半平面で閉じることができれば、 右辺の積分は $\mbox{Im}\nu<0$での 被積分関数の特異点の周りの積分に分解できる。 式(3.12)の被積分関数は特異点として１位の極のみを持つので、 この極の留数の和で積分を評価することができる。

図 3.6: 複素$\nu$平面の下半平面に閉じた積分路

被積分関数の極を求めると、

$$\frac{1}{Z(\nu)} = 0$$

より、

$$H_{\nu}^{(2)}(ka) = 0$$

であるから、ハンケル関数の零点を $\nu_m,(m=1,2,3,\cdots)$と表すことにする。 このとき、

$$\begin{eqnarray*} F(\phi) &=& -2\pi j\sum_{m} \mbox{Res}[Z(\nu_m)] e^{-j\nu_... ...u_m}} H_{\nu_m}^{(1)}(ka)H_{\nu_m}^{(2)}(k\rho) e^{-j\nu_m\phi} \end{eqnarray*}$$

となる。

この式の各項は $\exp[-j\nu_m\phi]$なる因子を持つことから $\nu$が実軸から離れると急速に減衰する。 したがって、この値は実軸に最も近い極の留数のみで近似することができる：

$$F(\phi) \simeq \frac{\pi j}{\left.\frac{\partial}{\partia... ...1}} H_{\nu_1}^{(1)}(ka)H_{\nu_1}^{(2)}(k\rho) e^{-j\nu_1\phi}$$ (3.13)

このハンケル関数の最初の零点は $\nu_1\simeq ka$に存在するので、

$$\begin{eqnarray*} H_{\nu}^{(2)}(z) &\sim& 2 (\frac{2}{z})^{1/3}e^{j\pi/3}\mbo... ...}), \qquad(\nu\simeq z)\\ \tau &=& (\nu-z)(\frac{2}{z})^{1/3} \end{eqnarray*}$$

を利用して、Airy関数 $\mbox{Ai}(\tau e^{-2\pi j/3})$の零点で近似できる。

Airy関数の最小の零点を$-\alpha_1$と表すと、

$$\nu_1 \simeq ka + \alpha_1(\frac{ka}{2})^{1/3} e^{-\pi j/3}$$ (3.14)

と近似できる。

$\nu\simeq ka\ (ka\gg1)$の場合に

$$\begin{eqnarray*} \cos\alpha &=& \frac{1}{\sec\alpha} \,\simeq\, \frac{a}{\rho}... ...rho^2-a^2}}{\rho}\\ \nu\tan\alpha &\simeq& {\sqrt{\rho^2-a^2}} \end{eqnarray*}$$

が成立するので、 $\nu\simeq ka<k\rho$でのハンケル関数 $H_{\nu}^{(2)}(k\rho)$の漸近展開

$$H_{\nu}^{(2)}(k\rho) \sim \sqrt{\frac{2j}{\pi\nu\tan\theta}}e^{-j\nu(\tan\theta - \theta)}, \quad(k\rho/\nu = \sec\theta)$$

より、

$$H_{\nu}^{(2)}(k\rho) \sim \sqrt{\frac{2j}{\pi kR}}e^{-j(kR - \nu\theta)}, \quad(R=\sqrt{\rho^2-a^2})$$ (3.15)

と近似することができる。 したがって、式(3.13)は、

$$F(\phi) \simeq \frac{\pi j}{\left.\frac{\partial}{\partia... ...}(ka) \sqrt{\frac{2j}{\pi kR}}e^{-j[kR + \nu_1(\phi-\theta)]}$$ (3.16)

と表される。 ただし、

$$\theta = \cos^{-1} \frac{a}{\rho}$$

である。

以上より、

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) = \sum_{n=0}^{\infty}[ F(2n\pi+\frac{\pi}{2}+\varphi ) +F(2n\pi+\frac{\pi}{2}-\varphi )$$ (3.17)

$$F(\phi) \simeq C \sqrt{\frac{2j}{\pi kR}}e^{-j[kR+\nu_1(\phi-\theta)]}$$ (3.18)

$$C = \frac{\pi j}{\left.\frac{\partial}{\partial \nu} H_{\nu}^{(2)}(ka)\right\vert _{\nu=\nu_1}} H_{\nu_1}^{(1)}(ka)$$ (3.19)

において、 $\nu_1$は負の虚数部を持つので、$n$が大きくなると指数関数的に減衰する、 したがって、

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ) \simeq C \sqrt{\frac{2j}{\pi kR}}[ e^{-j(kR+\nu_1\theta_1)} +e^{-j(kR+\nu_1\theta_2)]} ]$$ (3.20)

と近似できる。 ただし、

$$\begin{eqnarray*} \theta_1 &=& \frac{\pi}{2}-\varphi -\theta \\ \theta_2 &=& \frac{\pi}{2}+\varphi -\theta \end{eqnarray*}$$

を意味する。

図 3.7: 円筒導体による回折界(creeping wave)

図より、

$$\frac{\pi j H_{\nu_1}^{(1)}(ka) }{\left.\frac{\partial}{\p... ... H_{\nu}^{(2)}(ka)\right\vert _{\nu=\nu_1}} e^{-j\nu_1\theta}$$ (3.21)

は曲率半径$a$の完全導体円筒による回折界の回折係数を表す。 ただし、$\nu_1$はAiry関数の零点$-\alpha_1$を用いて

$$\nu_1 \simeq ka + \alpha_1(\frac{ka}{2})^{1/3} e^{-\pi j/3}$$

と表される。