第１項

$$\begin{eqnarray*} I_1 &=& \int_{z_{m-1}}^{z_m} \int_{z_{n-1}}^{z_n} G(z-z')\... ...t_{z_{n-1}}^{z_{n}} G(z-z') \cos k(z+z'-z_{m-1}-z_{n-1}) dz dz' \end{eqnarray*}$$

と変形することができるので、

$$t = z-z_{m-1},\quad t' = z'-z_{n-1}$$

と置き換えることにより、

$$I_1 = -\frac{1}{\sin^2 k\Delta} \int_{0}^{\Delta} \int_{0}^{\Delta} G(t-t'+z_{m-1}-z_{n-1}) \cos k(t+t')dt dt'$$

$$= -\frac{1}{\sin^2 k\Delta} \int_{0}^{\Delta} \int_{0}^{\Delta} G(\{m-n\}\Delta+t-t') \cos k(t+t')dt dt'$$ (B.11)

と書き換えられる。

さらに、

$$u= t - t',\quad v= t + t'$$

と変数変換すると、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \int_{0}^{\Delta} \int_{0}^{\Delta} G(\{m-n\}\Delt... ...0}^{\Delta} G(\{m-n\}\Delta+u)\cos k\Delta \sin k(\Delta-u)\ du \end{eqnarray*}$$

となる。

上式の第１項の$u$を$u-\Delta$で置き換え、 第２項の$u$を$\Delta-u$で置き換えると、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \int_{z_{m-1}}^{z_{m}} \int_{z_{n-1}}^{z_{n}} G(z-... ...Delta} [G(\{m-n-1\}\Delta+u)+G(\{m-n+1\}\Delta-u)] \sin ku\ du \end{eqnarray*}$$

となる。

ここで、$G(-z)=G(z)$であることを考慮すると、

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \int_{z_{m-1}}^{z_{m}} \int_{z_{n-1}}^{z_{n}} G(z-... ...elta} [G(\{m-n-1\}\Delta+u)+G(\{n-m-11\}\Delta+u)] \sin ku\ du \end{eqnarray*}$$

と書き換えることができる。

したがって、最終的に、次のように変形できる。

$$I_1 = -\frac{\cos k\Delta}{k\sin^2 k\Delta}\int_0^\Delta [G(\{m-n-1\}\Delta-u)+G(\{n-m-1\}+u)] \sin ku\,du$$

$$= -\frac{\cos k\Delta}{k\sin^2 k\Delta}\int_0^\Delta [F_{m-n-1}+F_{n-m-1}]$$ (B.12)

ただし、

$$F_\ell = \int_0^\Delta G(\ell\Delta+u)\sin ku du$$

である。