停留値法

$R\gg1$の場合について、積分

$$I = \int_D f(t) e^{jRg(t)}dt$$

を近似的に評価する。 ただし、$g(t)$は実関数とする。

$R\gg1$の場合に積分路上で$g(t)$が変化すると、 被積分関数の位相は大きく変化し、振動の激しい関数となる。 このとき、$t$の変化で被積分関数は互いに打ち消し合い積分への寄与は小さくなる。 積分への寄与が最も大きいのは積分路上で位相の変化がなくなる場合で、 その場所$t=t_0$は$g'(t_0)=0$より求めることができる。 この、$t=t_0$の近傍で振幅$f(t)$の変化が緩やかである場合、積分は

$$I \simeq f(t_0) \int_D e^{jRg(t)}dt$$

と近似することができる。 さらに、$t=t_0$の回りで$g(t)$をテーラー展開して、 2次の項までで近似すると、

$$g(t) \simeq g(t_0) + \frac{1}{2}g''(t_0)(t-t_0)^2$$

と表されるので、

$$I \simeq f(t_0) e^{jRg(t_0)}\int_D e^{\frac{1}{2}jR(t-t_0)^2g''(t_0)}dt$$

と近似できる。 さらに、$t=u+t_0$と変換すれば、

$$\begin{eqnarray*} I &\simeq& f(t_0) e^{jRg(t_0)}\int_D e^{\frac{1}{2}jRg''(t_0... ...\infty}^{+\infty} e^{\pm\frac{1}{2}jR\vert g''(t_0)\vert u^2}du \end{eqnarray*}$$

と近似できる。

積分を複素積分に拡張し、 $s=e^{\pm\pi j/4} \sqrt{2/\{R\vert g''(t_0)\vert\}}t^{1/2}$と 変数変換し、 指数部の減衰が最も速い方向に積分路を変更する。 このとき、

$$I = f(t_0) e^{jRg(t_0)}e^{\mp\pi j/4} \sqrt{\frac{2}{R\vert g''(t_0)\vert}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-s^2}ds$$

$$= f(t_0) e^{jRg(t_0)}\sqrt{\frac{2\pi j}{Rg''(t_0)}}$$ (A.14)

が得られる。

この位相の変化が停止する箇所が積分に最も寄与する近似法を 停留値法(method of stationary phase)と呼んでいる。 また、$t=t_0$を停留点、被積分関数が最も速く減衰するように選んだ 積分路を最急降下路(steepest descent path)と呼んでいる。