Legendre関数による展開

ルジャンドル関数$\{P_n(x)\}$は区間$-1\le x \le 1$で 直交完備な関数列である。

$$\int_{-1}^1 P_n(x)P_\ell(x)dx = \left\{ \begin{array}{ll}... ...laystyle{ \frac{2}{2n+1} }, &(n\ne\ell) \end{array}\right.$$

が成立し[IIIp.114]^A.2、

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \sum_{n=0}^{\infty} A_n P_n(x)\\ A_n &=& (n+\frac{1}{2})\int_{-1}^{1} f(x)P_n(x) dx \end{eqnarray*}$$