Fourier級数展開

区間[$-a,+a$]で定義された区分的に連続な関数$f(x)$は、 三角関数 $\{\sin(\pi x/a)\},\ \{\cos(\pi x/a)\}$を展開関数として、

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\frac{n\pi}{a}x +\sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\frac{n\pi}{a}x \end{eqnarray*}$$

と表すことができる。 ここで、 $\{A_n\},\ \{B_n\}$は展開係数である。

展開係数は上式の両辺に展開関数を個々にかけて、 この区間で積分することにより得られる。

三角関数の直行性

$$\int_{-a}^{a} \sin\frac{n\pi}{a}x\, \sin\frac{m\pi}{a}x\,dx = \left\{ \begin{array}{ll} a,&(n=m>0)\\ 0,&(\mbox{その他}) \end{array}\right.$$

$$\int_{-a}^{a} \cos\frac{n\pi}{a}x\, \cos\frac{m\pi}{a}x\,dx = \left\{ \begin{array}{ll} 2a,& (n=m=0)\\ a,& (n=m>0))\\ 0,& (\mbox{その他}) \end{array}\right.$$ (A.13)

を利用して、

$$\begin{eqnarray*} A_0 &=& \frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}f(x)dx\\ A_n &=& \frac{1}{... ...\\ B_n &=& \frac{1}{a}\int_{-a}^{a}f(x)\sin\frac{n\pi}{a}x\,dx \end{eqnarray*}$$

であることが示される。

区間$0\le x\le a$で定義された関数についても、 偶関数、あるいは、奇関数として区間$-a\le x \le a$に拡張すれば フーリエ級数展開が可能となる。

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos\frac{n\pi}{a}x \\ A_... ..._0^a f(x)\cos\frac{n\pi}{a}x\,dx} ,&(n\ne0) \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$

あるいは、

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\frac{n\pi}{a}x\\ B_n &=& \frac{2}{a}\int_0^a f(x)\sin\frac{n\pi}{a}x\,dx \end{eqnarray*}$$