円筒座標系

ラプラスの方程式：

$$\frac{\partial^2 \mbox{\large$\phi$}}{\partial{\rho}^2} +\... ...2} +\frac{\partial^2 \mbox{\large$\phi$}}{\partial{z}^2} = 0$$

解を

$$\mbox{\large$\phi$}(\rho,\varphi ,z) = R(\rho)\Phi(\varphi )Z(z)$$ (A.1)

と置くと、変数分離法を用いて、

$$\begin{array}{rcl} R(\rho) &=& A_1 J_n(\alpha\rho) + A_2 Y... ... \\ Z(z) &=& C_1 e^{\alpha z} + C_2 e^{-\alpha z} \end{array}$$

と表される。 ここで、 $J_n(\alpha\rho),\,Y_n(\alpha\rho)$は、 それぞれ、$n$次のベッセル関数、および、ノイマン関数を表す。

特に、
$\alpha=0,\ n\ne0$の場合

$$\begin{array}{rcl} R(\rho) &=& A_1 \rho^n + A_2 \rho^{-n}\... ...rphi + B_2\cos n\varphi \\ Z(z) &=& C_1 z + C_2 \end{array}$$ (A.2)

$\alpha=0,\ n=0$の場合

$$\begin{array}{rcl} R(\rho) &=& A_1 \log\rho + A_2\\ \Phi... ...i ) &=& B_1\varphi + B_2\\ Z(z) &=& C_1 z + C_2 \end{array}$$ (A.3)

$\alpha\ne0,\ n=0$の場合

$$\begin{array}{rcl} R(\rho) &=& A_1 J_0(\alpha\rho) + A_2 Y... ...2\\ Z(z) &=& C_1 e^{\alpha z} + C_2 e^{-\alpha z} \end{array}$$ (A.4)