表計算ソフトを利用した電位分布のシミュレーション

• Excelでの Live Demo

表計算ソフト Microsoft Excel を用いて、電位分布(2次元、静電場)の分布を数 値計算する。

2次元ラプラス(Laplace)の方程式

$$\begin{eqnarray*} \nabla^2\phi(x,y) &=& 0\\ \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} &=& 0 \end{eqnarray*}$$

の$x, y$についての微分を差分近似して得られる電位分布

$$\phi_{i,j}=\phi(i\Delta,j\Delta)$$

についての連立方程式

$$\phi_{i+1,j}+\phi_{i-1,j}+\phi_{i,j+1}+\phi_{i,j-1}-4\phi_{i,j}=0, \quad(i,j=0, 1, 2, \cdots)$$ (1)

の数値解を表計算ソフトを用いて求める。

式(1)を変形すると、

$$\phi_{i,j}=\frac{1}{4}\left(\phi_{i-1,j}+\phi_{i+1,j}+\phi_{i,j-1}+\phi_{i,j+1}\right)$$ (2)

が得られる。 この式から、表計算ソフトのシートにおいて$i, j$を行、列とするセルに $\phi_{i,j}$の値を配置すると、電位は、その上下左右のセルの値 の平均値となるよう分布することがわかる。

式(2)を表計算ソフトの再計算機能を利用して数値計算する。