インパルス応答とZ変換

さて、以前の講義でz変換について学んだ。

-> 第8回資料 の "4 Z変換" を参照

Z変換では数列をZの関数に変換した。そして、Z変換に関する表に、

という場合に、

[式3]

という項目があった。これは何だろうか。この行は

h(n)というインパルス応答がある伝送路をx(n)という信号が通って、その出力がy(n)の場合に、y(n)のZ変換が[式3]で求められることを表している。

本当にそうなるだろうか? 以下で計算してみよう。

h(n) = [1,1/2,-1/2,0,...]

x(n) = [1,0,0,-1,0,0,0,..]

だとすると、

をそのまま計算すると、

y(n) =      1  * [ 1, 0, 0,-1, 0, 0, 0,...]
         + 1/2 * [ 0, 1, 0, 0,-1, 0, 0, 0,...]
         - 1/2 * [ 0, 0, 1, 0, 0,-1, 0, 0, 0,...]

      =             [ 1,   0,       0, -1,    0,   0, 0,...]
           +        [ 0,1/2,      0,  0,-1/2,   0, 0, 0,...]
           +        [ 0,    0, -1/2,  0,    0,1/2, 0, 0, 0,...]

     =              [1, 1/2,-1/2, -1,-1/2,1/2, 0, 0, 0, 0,...]

であるから

Y(z) = 1+z^(-1)/2-z^(-2)/2-z^(-3)-z^(-4)/2+z^(-5)/2

となる。

次にz変換を使ってY(z)を求めてみる。

H(z) = 1 + z^(-1)/2 -z(^-2)/2

X(z) = 1 - z^(-3)

だから、

Y(z) = H(z)X(z)

       = (1 + z^(-1)/2 -z(^-2)/2) × (1 - z^(-3))

       = 1+z^(-1)/2-z^(-2)/2-z^(-3)-z^(-4)/2+z^(-5)/2

で、たしかに、Y(z)=H(z)X(z)で計算しても同じ答えになることがわかる。

このようにインパルス応答と入出力の関係は、それらをz変換としておくと、掛け算という簡単な演算で表すことができる。