行列として理解する

離散フーリエ変換は、行列計算と考えることもできる。

離散フーリエ変換の定義は(1)式だった。

(1)

ここで以下のような数 W を考える。Wは複素数である。

(2)

Wを使うと式1は以下のように書ける

(3)

そこでWを使った行列を考えると、x-->Xの変換は以下の(4)式の行列の計算でも計算できる。

(4)

本当にこの行列計算で同じ結果が得られるだろうか。

線形代数の行列の計算を思い出してみよう。以下のように行うのだった。

比較すると、確かに式(1)と式(5)は同じ計算であることがわかる。

(5)

離散フーリエ変換は行列の乗算としても計算できることがわかった。

 

 

 

同じデータをし, 式5でフーリエ変換して比較することで、確認しなさい。

この時のWの行列の要素は、単位円上の複素数で以下のように並んでいる。

このことから以下のことがわかる。

(1) この行列の基底は、すべて互いに直交している。

(2) この行列の基底の大きさは N

(3) DFTの結果の実数部分は左右対称

(4) DFTの結果の虚数部分は左右で符号が反対

(5) DFTと逆DFTは、逆行列

 

 

練習問題

x=[5,9,6,3,4,6,4,9]

という数列(ごくろーさん、よろしく)を作れ。

y=fft(x,1)で逆フーリエ変換せよ。

x1=fft(y,-1)でフーリエ変換せよ。

式(5)を使ったフーリエ変換を実行し、結果をx2に算出せよ。

x1とx2を比較せよ。